Kaip žinote rytoj, t.y. gegužės 27d. laukia matematikos egzaminas. Norėdamas šiek tiek Jums padėti, pateikiu keletą šperų, formulių, sprendimų.
Matematikos užduotys čia:
Mokyklinis – http://egzaminai.lt/failai/1050_uzduotys_2009_MBE_matematika.pdf
Valstybinis – http://egzaminai.lt/failai/1049_uzduotys_2009_VBE_matematika.pdf
Valstybinio matematikos egzamino testo atsakymai:
1. D (24)
2. D (<ACO = <DBO)
3. C (e^x + x +1)
4. B (8)
5. E
6. D
Valstybinio matematikos užduočių sprendinius rasite paspaudę, skaityti daugiau.
1. 4x + 7y = 117, kur x ir y – grupių skaičius. Issireiškiame x :
x = (117 -7y)/4 = (112 -8y + 5 +y)/4 = 28 – 2y + (y+5)/4.
Dabar reikia rasti tokį y (mažiausią galimą naturalųjį), kad x būtų didžiausias. Toks y yra y = 3.
Tada x = 24. Ats.: 24.
2. Kampas ACO <> DBO. Išplaukia iš trikampių kraštinių ir trikampių panašumo. Ats.: ACO =
DBO
3. f(x)= ex + 1, kur (x0; y0) = (0;2). Kadangi : F(x) = integralas (f(x)) +C todel :
Integralas (f(x)) = ex + x +C. Statomes (x0; y0) = (0;2). Gauname : 2= e0 + 0 +C ; iš to išplaukia,
kad C = 1, todel : F(x) = ex + x +1. Ats.: F(x) = ex + x +1.
4. (AB) * (AC) = mod (AB) * mod (AC) * cos(A) = 4*4* ½ = 8. Ats.: 8.
5. Atsakymas x=-1 todėl tai yra funkcijos y=f(x) minimumas, nes žinome, kad funkcija
didėja, kai isvestinė teigiama ir mazėja, kai isvestinė neigiama. Šiuo atveju iki -1 vyksta mažėjimas,
o ties -1 pradeda kilti. Tai reiškia, kad x=-1 yra grafiko “dugnas”, t.y. minimumas.
6. Kadangi viena vieta jau fiksuota (pirmininko), tai 2 vietas turi pasidalinti 2 pavaduotojai.
Jiems susėsti atvejų yra 2. Lieka dar 24 zmonės, kurie turi atsisėsti likusiose 24 vietose. Taigi ats yra
2*24!. Ats. : 2*24!;
7.1 log3x = 2. Iš čia : x = 32 = 9. Ats. : 9
7.2 log 2(x-3) – log 2(x-1) = 3; (I)
log 2(x-3)/(x-1) =3;
(x-3)/(x-1) = 23;
x-3 = 8x – 8;
7x = 5;
X = 5/7. Is (I) išplaukia, kad x >1 todėl X = 5/7 netinka ir nėra sprendiniu. Ats.: nėra sprendinių.
8.1. An = 3n -4. Pirmas narys a1 = 3*1 – 4 = -1, antras a2 = 3*2 – 4 = 2. Ats. : a1 = -1 ir a2 = 2.
8.2. Aritmetinės progresijos savybė yra : 2*an = an-1 + an+1 . Tikriname : 2 (3n-4) = 6n -8 = (3n-7)
+ (3n-1) = (3(n-1) – 4) + (3(n+1)-4) = an-1 + an+1. Taigi an tikrai yra aritmetine progresija.
8.3. Skaiciuojame pagal formule: S =(a1+ an)/2 * n = (a1+ a200)/2 * 200 = (-1+596)/2*200 =
59500. Ats. : 59500.
9.1. Pinigai, kuriuos jis gavo pardavęs yra : 225000 + 0.4* 225000 = 315000.
9.2. Susidarome lygčių sistemą : x + y = 225000 ir 1.5x + 1.25 y = 315000. Iš pirmos gauname
kad : x = 225000 –y. Statome x į antrą lygtį : 1.5 (225000 – y) + 1.25y = 315000. Iš čia y:
y= 90000, o x = 135000. Kadangi reikia surasti už kiek pardavė tai dar padauginame :
1.5x = 1.5 * 135000 = 202500. Ats. : 202500.
10. Pagal kosinusų teoremą turime : BD2 = AB2 + AD2 – 2cos A * AB*AD.
BD2 = 49 + 18 – cos 45 * 7 * 3sqrt(2) = 25. BD = 5. B1D2 = BD2 + B1B2 = 169. Taigi B1D=
13. Ats. : 13.
11. 1. (x-2)(x+2)>5. pertvarkome : x2 -9 >0, (x-3)(x+3)>0. Taigi x priklauso nuo minus
begalybės iki -3(atviras intervalas) ir nuo 3(atviras intervalas) iki plius begalybes.
11.2. išskleidžiame : -4 <=2x-3 <= 4. iš čia : -1<= 2x<=7, iš čia : -0.5 <= x<= 3.5.
Ats. : x = [-0.5;3.5].
12.1. 2cos2 (pi – x) + 3 cos (pi/2 + x) -2= (taikome redukcijos formules) = 2*(-
cosx) 2 – 3sinx – 2*((cosx) 2 + (sinx) 2) = -2*(sinx) 2 – 3 * sinx. Įrodyta..
12.2. 2*(sinx) 2 + 3 * sinx = 0. Is cia : 2sinx(sinx + 1.5) = 0. is cia :sinx = 0 arba
(sinx + 1.5)=0 tačiau šituo atveju nėra sprendinių, nes sinx kinta tik nuo -1 iki 1. Taigi sinx
= 0. Iš čia : x = pi *k, kur k – sveikasis skaičius
Ats. : x = pi *k, kur k – sveikasis skaičius
13.1. {(10,2),(2,10), (6,6)}.
13.2. Kadangi X = 12 baigčių yra 3, o is viso galimų baigčių yra 9, tai P(x=12)= 3/9 =
1/3.Įrodyta.
13.3 Įrašyti reikia : 1 – (1/9 + 2/9 + 1/3 + 1/5) = 2/9. Ats. : 2/9.
13.4. EX = 1/9*4 + 2/9*8 + 1/3*12 + 2/9*16 + 1/9 * 20 = 12 < 13 . Kadangi matematinė viltis
mažesnė, tai neapsimoka. Ats. : neapsimoka.
14.1 . Nusibraižę grafiką matysime, kad vienas susikirtimo taškas yra I ketvirtyje, taigi
sprendinys bus teigiamas, o kitas susikirtimo taškas bus II ketvirtyje, todėl sprendinys bus
neigiamas.
14.2 Taigi ši lygtis turi tik 1 teigiamą sprendinį.
15.1. Kadangi kampas EAD = FAD (nes AD pusiaukampinė), taip pat kampas EDA = FDA
(nes jie abu gaunami iš 180 atėmus EAD arba is 180 atėmus FAD ), bei šie du trikampiai
turi bendrą kraštinę AD, tai pagal dviejų lygių kampų ir vienodos kraštinės požymį tarp jų,
gauname, kad tie trikampiai (EAD ir FAD) yra lygūs. Iš to išplaukia, kad : ED = FD.
Įrodyta.
15.2 Skaičiuojame : CD/BD = (½* SACD )/ (½* SABD ) = (½* AC * ED )/ (½* AB*FD ) =
AC * ED / AB* FD = (kadangi ED = FD)= AC/AB. Tai ir reikejo įrodyti.
16. Kadangi 40 – x2/30 yra “aukščiau” negu 25 – x2/60, tai iš pirmos lygties atimsime antrą
lygtį ir skaičiuosime integralą : 40 – x2/30 – 25 – x2/60 = 15 – x2/60. Prieš tai sulyginame,
kad surastume kokiuose režiuose ieškoti integralo :
40 – x2/30 = 25 – x2/60. Gauname x2= 900. Iš čia išplaukia, kad rėžiai bus nuo -30 iki
+30. Skaičiuojame integralą : integralas(nuo -30 iki 30) (15 – x2/60)dx =
15x – x3/180 | nuo – 30 iki + 30 = 15*30 – 30*30*30 – (15*(-30) – (-30)*(-30)*(-30)) = 600.
Ats. : 600.
Mokyklinio egzamino sprendimai ir atsakymai: Žiūrėti čia
Jeigu tau
Atsakymas